이 글은 경영학부 경영통계 수업에서 배운 자료들을 정리한 내용입니다.
- Key Point : 이항 분포, 포아송 분포
Contents
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확률분포들의 특성들을 식별
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이산 확률변수와 연속 확률변수를 구별
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이산 확률변수의 평균, 분산, 그리고 표준편차 계산
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이항 분포의 가정 설명과 확률 계산에 적용
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포아송 분포의 가정 설명과 확률 계산에 적용
확률 분포의 정의
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확률 분포 → 미래의 결과에 대한 가능성(=확률)
- 어떤 실험에서 발생할 수 있는 모든 결과들과 각 결과의 확률을 나열
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확률 분포의 특징
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어떤 특정 결과의 확률 = 0 ~ 1 사이
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결과들은 상호 배타적 = Mutual exclusive
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결과들의 합 = 1
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확률 변수(random variable)
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어떤 실험의 결과로서 측정되거나 관측된 변수
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변수의 우연성에 따라 다양한 값으로 결정됨 (random)
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확률변수 - 대문자 알파벳: X, Y, Z
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변수가 취하는 값 - 소문자 알파벳: x, y, z
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예)
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~고등학교 농구부원들의 학년(1 ~ 4) ⇒ 학년은 정성적 확률변수
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~배관공 50명의 표본에 대한 시급 ⇒ 시급은 정량적 확률변수
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스타벅스에 판매되는 음료의 종류 - 아메리카노, 카페라떼, 자몽에이드 ⇒ 음료의 종류는 정성적 확률변수
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확률 표기법(probability notation)
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확률변수의 이름 - 대문자 X
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확률 변수의 값 - 소문자 x
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확률변수 X의 값이 x와 같을 때 ⇒ P(X=x)
- 예) P(X=0) = 0.125
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P(x)로도 쓰임 (간단하게)
- 예) P(0) = 0.125
확률 변수의 종류-1
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이산확률변수(Discrete random variable) : 분명하게 분리된 값, 불연속적 -
어떤 정해진 값만 가질 수 있고 값들 사이에 간격이 있는 확률변수
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주로 수를 세어서(counting) 값을 할당
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예)
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강의실의 학생 수, 가족 구성원 수
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한 시간 동안 주유소에 도착하는 자동차 수
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지난 주에 은행에서 승인된 대출 건수, 고객들이 가지고 있는 신용카드 수
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특정 토요일에 판매할 것으로 생각하는 차의 대수에 대한 다음 확률 분포
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이산 확률 분포 - 예제
- P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
확률 변수의 종류-2
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연속확률변수(Continuous random variable) : 무한대의 값, 연속적 -
주어진 구간 내에서 어떤 실수 값(무한대의 값)이라도 가질 수 있는 변ㄴ수
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주로 측정(measurment)에 의해 값을 할당
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예)
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학생들의 학교까지의 거리, 직장까지의 운전거리
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ATM 앞에서 대기시간
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미국 애틀란티와 LA 사이의 비행시간은 4.67시간, 5.13시간 등
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미국 미네소타주 미네아폴리스의 강설량
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이산 확률 변수의 평균
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평균은 자료의 중심 위치를 나타내기 위해 가장 많이 사용되는 값
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확률변수의 평균은
기대값이라고 부르기도 한다.
확률분포의 평균: $\mu = \Sigma [xP(x)]$
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P(x) = 빈도수 / 전체 빈도수
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예)
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주사위를 한 번 던지는 실험, 주사위 눈의 확률 변수 X, 확률 변수 X의 기대값 E(X)는 ?
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E(X) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) + 5(1/6) + 6(1/6) = 3.5
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동전을 던져 앞 면이 나오면 1,000원을 받고, 뒷 면이 나오면 500원을 줄 때 기대값 E(X)는 ? ⇒ 1000(1/2) + -500(1/2) = 500
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기대값의 특성 ( a,b 는 상수 / X,Y는 확률변수)
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E(a) = a
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E(bX) = bE(X)
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E(a + bX) = a + bE(x)
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E(X + Y) = E(X) + E(Y)
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E(aX + bY) = aE(x) + bE(Y)
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확률분포의 분산과 표준편차
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자료에서 변동성의 정도는 분산에 의해 표현
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확률분포의 표준편차는 분산의 제곱근으로 계산
확률분포의 분산: $\sigma^2 = \Sigma[(x-\mu)^2P(X)]$ $(\mu = 평균)$
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표준편차 : $\sqrt{\sigma^2} = \sigma$
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분산의 특성
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a와 b가 상수일 때 ⇒ $Var(aX+b) = a^2Var(X)$
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변수 X와 Y가 독립일 때 ⇒ $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$
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이항 확률분포
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베르누이 시행(Bernoulli trial)
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가능한 결과의 수가 두가지로만 결정되어 있는 실험의 시행
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실험의 결과가 성공/실패의 두가지 상호배반적 사건으로 나누어짐
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P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p
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ex) 동전 던지기, 양품/불량품, 찬성/반대, 성공/실패
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베르누이 확률 변수 X의 평균과 분산
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E(X) = p
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Var(X) = p(1-p)
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이항 분포: 베르누이 시행의 반복
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이항 확률분포의 특징
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각각의 시행에서는 상호배타적인 두 가지 결과만 나타남 ⇒ 보통 성공과 실패로 표현
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확률변수 x: 정해진 횟수의 시행에서 성공이 나온 횟수
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각 시행은 통계적으로 독립 ( 예: 복원 추출) ⇒ 이전 혹은 나중 시행의 결과에 영향을 주지 X
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각 시행에서 ‘성공’의 확률은 처음부터 끝까지 불변
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이항 확률의 계산
이항 확률 공식 ⇒ $P(X) = \ {n}\mathrm{C}{x} \pi^x(1-\pi)^{n-x}$
C는 조합 기호
n는 시행 횟수 (= 전체횟수)
x는 성공 횟수로 정의된 확률 변수 (= 성공횟수)
$\pi$는 각 시행에서 성공이 나올 확률 (= 성공할 확률)
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예1) 복원추출로 공을 2번 추출할 때, 빨간 공 1개가 추출될 확률은 ?
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${2}\mathrm{C}{1}{9 \over 20}^1(1-{9 \over 20})^{2-1}$
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n: 2
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x: 1
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$\pi$: 9/20
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예2) 동전을 10번 던질 때, 6번 앞이 나올 확률은 ?
- $P(6) = \ _{10}\mathrm{C}_{6}{1 \over 2}^6(1-{1 \over 2})^{10-6}$ = 210
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예3) 오늘 한편의 비행기도 도착하지 않을 확률(하루에 5차례 있고, 비행기가 연착할 확률 = 0.20)
- $P(0) = \ {5}\mathrm{C}{0}{0.2}^0(1-0.2)^{5-0}$ = (1)(1)(0.3277) = 0.3277
이항 확률분포의 평균, 분산
이항 분포의 평균 $\mu = n\pi$
이항 분포의 분산 $\sigma^{2} = n\pi(1-\pi)$
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평균: $np$
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분산: $npq (q = 1-p)$
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$\pi$ 는 성공할 확률
이항 학률분포의 모양
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확률 $\pi$의 증가
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양의 방향으로 치우친 분포 $\pi = 0.3 < 0.5(=n)$
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대칭 분포 $\pi = 0.5$
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음의 방향으로 치우친 분포 $\pi = 0.7 > 0.5(=n)$
포아송 확률분포 (Poisson distribution)
- 확률변수는 정해진 간격안에서 어떤 사건이 발생하는 빈도이다.
- 사건이 발생할 확률은 간격의 크기에 비례한다.
- 간격들은 겹치지 않고 상호 독립이다.
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일정 기간 동안 걸려오는 전화의 수
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철판의 단위 면적 당 흠집의 수
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페이지당 오타의 수
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일정량의 혈액속에 들어있는 적혈구의 수
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년간 자동차 사고 사망자수
포아송 분포 $P(X) = {\mu^xe^{-\mu} \over x!}$
$\mu$는 주어진 간격 동안 발생한 성공이나 사건의 평균 횟수이다.
e는 자연로그의 밑수인 상수(2.718)
$x$는 사건발생 (성공)횟수이다.
$P(X)$는 사건이 발생한 특정 횟수 $x$의 확률이다.
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포아송 분포의 평균 $\mu = n\pi$
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포아성 분포의 평균과 분산은 같음.
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n이 크고, $\pi(=p)$가 작을 때 이항분포는 포아송 분포로 근사됨
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포아성 분포은 항상 양의 방향으로 치우친 분포가 되며, 무한대로 간다.
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평균이 커질 수록, 포아성 분포는 대칭분포에 가까워진다.
Reference
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- Lind, Marchal, Wathen, (2018), McGrawHill, 강종열 등 역, 지필미디어